En revanche, la rédaction choisie utilise le formalisme moderne : ainsi, la présentation des résultats de Diophante est très éloignée de la forme géométrique présente dans les textes originaux. Fermat avait-il une démonstration complète de son théorème ? Une condition nécessaire pour que p soit somme de deux carrés est donc qu'il divise une somme de deux carrés premiers entre eux. Lagrange établit que réciproquement, tout nombre entier représentable de manière primitive par une forme est le coefficient du terme en X2 pour une forme équivalente, et que tout diviseur d'un nombre primitivement représenté par une forme est primitivement représentable par une forme de même discriminant (pas nécessairement équivalente). Son exposant dans n est donc le même que dans d2. La première publiée, encore due à Euler[49], est, chronologiquement, le « dernier maillon » de sa preuve du théorème des deux carrés. D'autre part, de marginale qu'elle était dans l'ensemble des mathématiques, elle devient l'objet de nombreuses interactions avec d'autres branches, comme la géométrie ou l'analyse réelle ou complexe. L'interlocuteur le plus important de Fermat sur la théorie des nombres, Frenicle, manifeste d'ailleurs qu'il a trouvé aussi cet énoncé : il demande par exemple à Fermat de trouver le plus petit nombre qui soit somme de deux carrés exactement un nombre de fois donné, et consacre le 5e exemple de son propre traité La Méthode des Exclusions au problème : « un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la somme de deux carrés ». D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Il divise une somme de deux carrés premiers entre eux (voir supra). Jacobi les utilise pour établir une démonstration du nombre exact de décompositions d'un entier en deux carrés (voir supra). La question du nombre de paires de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus difficile ; ce nombre dépend des exposants des facteurs de n de la forme 4k + 1. Ses étapes préparatoires à ce lemme sont : Dans ses lettres à Goldbach, Euler note Ce nouveau cadre structurel permet de démontrer le théorème en quelques lignes. À un point z est associée la norme N(z) définie comme le produit de z et de son conjugué. En revanche, 45 = 32×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 62 + 32). Une fois ce résultat établi, Euler, ayant enfin réussi à démontrer que tout nombre premier p de la forme 4n + 1 divise une somme de deux carrés premiers entre eux (voir supra), en déduit que p est une somme de deux carrés[49]. « Application du lemme de Thue aux sommes de deux carrés ») : Un entier n > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) –1 est un carré modulo n. Don Zagier a publié en 1990 une démonstration constituée d'une seule phrase[63] : a exactement un point fixe, donc |S| est impair et l'involution définie par. k En 1654, à la fin d'une lettre à Pascal[68], Fermat conjecture que pour tout nombre premier p : Les réciproques sont immédiates, par des raisonnements « à la Diophante ». Ce livre traite des entiers de Gauss et de la classification des formes quadratiques. La première partie de la démonstration d'Euler, présentée ici, utilise la méthode de descente infinie de Fermat. Comme p est premier et strictement supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de (2n)!. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Elle ouvre cependant plus de questions qu'elle n'en résout. , ce qui est impossible d'après le point précédent. En effet, un nombre de la forme 4n + 1 est premier si et seulement s'il s'écrit d'une seule façon comme somme de deux carrés, et que ces carrés sont premiers entre eux. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques. Cependant, les ingrédients qu'il a énoncés (petit théorème de Fermat, descente infinie) leur ont permis d'en élaborer d'autres. 2, 3, 5 … Somme des inverses des carrés. Ainsi, si n est de la forme décrite dans le théorème, alors n est un produit de sommes de deux carrés donc n est somme de deux carrés. {\displaystyle a=uV,b=vU,c=UV} Démonstration. B En écrivant n = n'p1ap2bp3c…, où n' est divisible seulement par 2 et des facteurs premiers de la forme 4k + 3 et où les différents pi sont les facteurs premiers de la forme 4k + 1, et en notant m le produit (a + 1)(b + 1)(c + 1)…, alors le nombre de décompositions différentes de n (normalisées, c.-à-d. sous la forme x2 + y2 avec x ≥ y ≥ 0) est égal à m/2 si m est pair, c'est-à-dire si l'un au moins des exposants a, b, c… est impair, et à (m + 1)/2 si m est impair, c'est-à-dire si tous les exposants sont pairs. 4 Ce livre traite du théorème des deux carrés avec les outils de Lagrange et de Jacobi ainsi que de l'équation diophantienne en général. Notons m ce diviseur, mn = aα2 + bαγ + cγ2, et β, δ entiers tels que αδ – βγ = 1. Or Q2n(1) est combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers Q0(1), Q0(2), … , Q0(1 + 2n). Un entier de la forme 4 k – 1 n'est jamais somme de deux carrés de rationnels. b De nombreuses interprétations en ont été proposées, qui attribuent à Diophante une compréhension plus ou moins complète des conditions pour qu’un nombre soit somme de carrés : voir par exemple, « Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres », dans. Il découvre que de multiples configurations, maintenant dénommées anneaux euclidiens, bénéficient des mêmes propriétés et donc d'une arithmétique analogue. 2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) élucide la structure des éléments inversibles, Ernst Kummer (1810-1893) trouve comment remplacer les facteurs premiers manquant à l'aide d'une notion maintenant appelée idéal, Évariste Galois (1811-1832) ébauche une vaste théorie permettant de mieux comprendre comment les nombres se multiplient[pas clair]. Formule de la somme des n premiers carrés et sa démonstration. Le théorème sur les sommes de carrés figure aussi dans les fameuses observations que Fermat a écrites en marge de l'édition de Bachet des Arithmétiques de Diophante, observations qu'on connaît par la version posthume publiée par son fils en 1670[22]. Il arrive ainsi à trouver une solution numérique particulière, par exemple pour le problème II.11 la solution 97/64 si les nombres donnés sont 2 et 3, et pour le problème IV.22, la solution 1, 34/6 et (2.1/2)/6. (Voir aussi le corollaire par Lagrange de son théorème « de Wilson », la première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, ou E552.). La troisième partie concerne les sommes de deux carrés. Ces résultats offrent des démonstrations plus simples du théorème des deux carrés[41], permettent de prouver la loi de réciprocité quadratique[42] et étendent la classification des formes quadratiques de Lagrange[43]. De plus, l'implication de cette proposition, restreinte aux nombres premiers, est en fait une équivalence : Un nombre premier p ≠ 2 divise (au moins) une somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) p est de la forme 4n + 1. Or, il existe peu (voire pas du tout) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. c Une étape de la démonstration consiste à identifier et reformuler une condition nécessaire — dont chacune des cinq sections suivantes montrera qu'elle est suffisante — pour qu'un nombre premier p soit somme de deux carrés, en remarquant que si x2 + y2 est premier ou, plus généralement, sans facteur carré, alors x et y sont premiers entre eux. Leonhard Euler s'est intéressé au théorème des deux carrés, comme à beaucoup d'autres résultats de théorie des nombres laissés par Fermat[28], et on lui doit les premières preuves connues de ces énoncés. Il existe donc, dans l'anneau des entiers de Gauss, deux éléments non inversibles z1 et z2 dont le produit est égal à p. Leur normes sont alors différentes de 1 et de produit égal à p2. Le dénombrement des solutions, une fois l'identité de Diophante connue, est un exercice de combinatoire que plusieurs auteurs, comme Frenicle, mènent aussi à bien. 2 C'est en lien direct avec les éditions et commentaires des Arithmétiques de Diophante que l'on trouve au XVIIe siècle une exploration plus systématique, puis les premiers énoncés complets de ce théorème. Ceci prouve que la seconde involution a un nombre impair de points fixes, donc au moins un, ce qui permet d'écrire p sous la forme x2 + (2y)2. Considérons alors la forme R(X, Y) := mX2 + b'XY + nc' Y2, de discriminant b' 2 – 4mnc' = b' 2 – 4a'c' = b2 – 4ac. Euler caractérisera de même par la suite les nombres premiers divisant un entier de la forme a2 + 2b2, ou de la forme a2 + 3b2, avec a et b premiers entre eux (voir infra). Y participent des noms restés plus ou moins célèbres comme Étienne et Blaise Pascal, René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy, Gilles Personne de Roberval ou encore Pierre de Carcavi, bibliothécaire du roi. De nombreuses approches permettent d'établir qu'un premier de la forme 4n + 1 divise une telle somme. Un autre constat élémentaire est le suivant : Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. Cette référence est l'une des plus citées comme introduction à la théorie algébrique des nombres. | Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés : La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit des racines carrées. N'est ce pas parce que jusqu'ici l'arithmétique a été traité géométriquement plutôt qu'arithmétiquement[24] ? Reprenant une suggestion de Fermat, il interprète aussi le théorème sur les sommes de carrés comme un test de primalité[32]. ou encore, un entier c tel que 2c + 1 soit somme de deux carrés de rationnels. De nouveaux ensembles de nombres sont étudiés, parfois de cardinal fini, parfois généralisant les entiers. {\displaystyle p={\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\ } En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. La norme dispose d'un double avantage pour le théorème des deux carrés : la question posée s'exprime sous une forme simple N(z) = p et la norme, qui à un entier de Gauss associe un entier positif, est multiplicative, c'est-à-dire : (cet avatar de l'identité de Diophante peut se redémontrer en utilisant que la conjugaison est elle-même multiplicative). Ces deux conjectures sont pour la première fois démontrés par Euler, en 1759 et, pour le cas p ≡ 3 mod 8, 1772[71]. Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. Au cours du XIXe siècle, l'étude des problèmes sur les nombres entiers change de statut. {\displaystyle c} Adrien-Marie Legendre apporte sa pierre à l'édifice. 1 Dans une longue missive à Mersenne[21] datée du jour de Noël 1640, Fermat énonce ses fondements pour résoudre tous les problèmes liés aux sommes de carrés. Ce critère permet à Euler de montrer que le 5e nombre de Fermat, 225 + 1, n'est pas premier car il s'écrit de deux manières comme somme de carrés : Il élabore même une méthode de factorisation à partir d'une telle double écriture. Lettre du 25 décembre 1640 de Fermat à Mersenne. Lagrange remarque que pour que deux formes f(x, y) et F(X, Y) représentent les mêmes entiers, il suffit qu'un changement de variables x = αX + βY, y = γX + δY (avec des coefficients α, β, γ, δ entiers et tels que[36] αδ – βγ = ±1) transforme l'une en l'autre, et que pour deux formes ainsi reliées, le discriminant b2 – 4ac de la forme est identique. Pour y arriver, il faudrait être capable de classifier toutes les formes quadratiques et les avancées du mathématicien sont insuffisantes. Aucune preuve rédigée par lui de ce théorème n'a subsisté, et la stratégie qu'il dit avoir employée (montrer — comment ? ». + La difficulté ici consiste à appliquer cette méthode pour démontrer un résultat positif : l'existence de solution[26]. ». Si les idées de Gauss permettent de mieux comprendre les nombres, le cas général[pas clair] reste hors de portée. = 2 k Le plan, qui dispose déjà d'une addition, d'un produit externe par un élément de ℤ et d'une forme quadratique, est en plus équipé d'une multiplication interne. La logique suivie consiste à étudier les nombres à l'aide d'une démarche structurelle.